Открытый педагогический форум "Новая школа"

Предлагаемый урок разработан учителями математики НОУ «Школа им. А.М. Горчакова» (Санкт-Петербург) Кутыгиной Татьяной Владимировной и Лейкиной Тамарой Николаевной.

Материал урока представлен в виде презентации Power Point, описания урока и приложений. В зависимости от количества учеников в классе учителю необходимо подготовить карточки-задания на вычисление квадратов чисел от 11 до 32, (см. слайд № 3); распечатать материал приложений.

Данное занятие рекомендуется проводить в пятом классе. Оно готовит ребят к введению понятия степень с натуральным показателем. В результате проведенного урока ребята учатся ориентироваться в таблице квадратов чисел, встречаются с «числами–перевёртышами», «палиндромическими парами». Установленные закономерности и взаимосвязи между квадратами чисел, самими числами и их квадратами способствуют запоминанию таблицы.

Название занятия обусловлено тем, что за время урока ученики, составив таблицу квадратов чисел от 11 до 32, несколько раз обращаются к ней и открывают новое для себя.

Этот урок способствует развитию умения анализировать, различать информацию, требующую запоминания и понимания, выдвигать гипотезы, делать выводы на основании полученных фактов.

Статья:

Урок по теме «Экскурсия по таблице квадратов натуральных чисел»

Цели урока:

- вскрыть закономерности между числами и их квадратами в таблице квадратов натуральных чисел;

- развивать умение анализировать, обобщать, делать выводы, строить гипотезы;

- показать через связь искусства с математикой гармонию мира.

Задачи:

- научить использовать распределительное свойство умножения относительно сложения и вычитания для вычисления квадрата числа;

- установить окончания квадратов чисел;

- получить рекуррентную формулу вычисления квадратов чисел;

- установить зависимости: между суммой первых последовательных нечётных чисел и их количеством; между разностью квадратов двух последовательных чисел и суммой этих чисел;

- научить возводить в квадрат числа, оканчивающиеся на пять.

Метод:

- проблемно-поисковый.

Формы работы на уроке:

- групповая;

- фронтальная.

Подготовка к уроку:

- разбить учащихся на группы;

- подготовить для каждой группы задания к слайду № 3: несколько двузначных чисел для заполнения таблицы квадратов чисел;

- распечатать материалы приложений.

Оборудование:

- интерактивная доска.

Ход урока

Этап I

Мотивация к теме урока.

Слайд № 1

Учитель рассказывает о картине русского художника Н.П. Богданова-Бельского «Устный счёт», написанной в 1895 году.

На картине изображена деревенская школа XIX века во время урока устного счёта. Учитель — реальный человек, Сергей Александрович Рачинский. Он был профессором Московского университета, ботаником и математиком. На волне народничества в 1872 году Рачинский вернулся в родное село Татево, где создал школу, с общежитием для крестьянских детей, разработал уникальную методику обучения устному счёту. Эпизоду из жизни школы с творческой атмосферой, царившей на уроках, посвятил своё произведение Богданов-Бельский, бывший сам учеником Рачинского.

На доске написана задача, которую необходимо решить ученикам: $\"\\"\\\\"\\\\\\\\frac{10^2\\"\"$

Решить устно задачу учащимся поможет этот урок.

По желанию учитель может сообщить факты из биографии С.А. Рачинского (Приложение 3)

Этап II

Заполнение таблицы квадратов натуральных чисел.

Учитель предлагает ребятам начать знакомство с таблицей квадратов с нахождения окончаний квадратов натуральных чисел. В ходе дискуссии выясняется, что достаточно рассмотреть натуральные числа первого десятка.

Слайд № 2

Полученные результаты фиксируются в таблице на доске и закрепляются в упражнении: могут ли быть квадратами натуральных чисел следующие числа?

Слайд № 2

На следующем слайде предъявляется незаполненная таблица.

Слайд № 3

Учитель предлагает заполнить её и для этого использовать распределительное свойство, перейдя к «круглым» числам.

На слайде с помощью анимации показан пример такого вычисления.

Слайд № 3

После этого группам учащихся раздаются задания на вычисление квадратов натуральных чисел от одного до тридцати двух.

Полученные результаты заносятся в таблицу.

Этап III

Выявление закономерностей между числами в таблице.

На следующем слайде представлена заполненная таблица. Ребятам предлагается рассмотреть внимательно числа и найти закономерности, помогающие запомнить квадраты чисел.

Слайд № 4

В ходе обсуждения называются пары квадратов 12 и 21: 144 и 441; то же самое подмечается для квадратов 13 и 31: 169 и 961.

Анализируя следующие числа и их квадраты, ребята убеждаются, что дальнейший поиск таких же закономерностей бесполезен: 14² = 196, а 41² = 1681, и уже, начиная с числа 32, квадраты всех следующих чисел являются четырехзначными числами. Проводится аналогия с палиндромами в русском языке. Можно дать задание группам: привести примеры палиндромов в русском языке.

Полученные выводы отмечаются в таблице. Далее подмечается, что квадраты чисел 13 и 14 получаются перестановкой двух последних цифр, квадраты 24 и 26 отличаются на 100, 23 и 27 – на 200, 22 и 28 – на 300.

На этом же слайде с помощью анимации появляются полученные в диалоге факты.

Слайд № 4

Следующий слайд представляет собой ту же таблицу, но квадраты некоторых чисел пропущены. Группам дается задание: анализируя два последовательных числа и их квадраты в таблице, попробовать заполнить пропущенные клетки и обобщить формулу нахождения квадрата числа, следующего за числом n. На этом же слайде анимационно показан выбор чисел:

Слайд № 5

и формула:

Слайд № 5

Можно пояснить ребятам, что с этой формулой они познакомятся в курсе алгебры 7 класса, показать, как она записывается и читается.

Геометрическая интерпретация квадрата числа как площади квадрата со стороной, равной числу, приводится на следующем слайде.

Слайд № 6

Квадраты, составленные из цветных кружочков, появляются постепенно, что помогает заметить закономерность при составлении квадрата следующего числа.

Далее ребятам предлагается записать площадь каждого квадрата в виде суммы предыдущего и количества новых кружков. Полученные результаты появляются на слайде.

Слайд № 6

Далее предлагается обобщить полученный результат в виде формулы. Ребятам сообщается, что выводится данная формула с помощью метода математической индукции, который изучается в профильных математических классах, на факультативах, в кружках. Формула выражает зависимость между квадратом числа, суммой первых последовательных нечётных чисел, количество которых равно самому числу, или последовательный ряд нечётных чисел.

Закрепить применение формулы предлагается, вычислив квадраты некоторых чисел и сверив полученные результаты с данными в таблице квадратов чисел.

Выразив число, на которое отличаются квадраты двух последовательных чисел, ребята замечают, что оно равно сумме самих чисел. Учитель знакомит их с названием этой формулы и сообщает им, что проходить формулы сокращенного умножения они будут на уроках алгебры в 7 классе. Все эти факты появляются на слайде.

Слайд № 6

Этап III

Квадраты чисел, оканчивающихся на 5.

Во время работы со слайдом № 7 ребята подмечают закономерности в квадратах чисел, оканчивающихся на пять. Сначала они вычисляют квадраты 15; 25; 35 и заносят их в таблицу.

Слайд № 7

Далее обращают внимание на окончания квадратов.

Слайд № 7

После этого пытаются записать формулу зависимости количества сотен в квадрате числа от количества десятков в самом числе.

Слайд № 7

В ходе обсуждения появляется формула для вычисления квадрата числа.

Слайд № 7

Ребятам предлагается проверить правильность формулы, вычислив квадраты 45; 55; 65.

На этом работа с таблицей заканчивается. В качестве итога предлагается задание: «Впишите недостающие цифры так, чтобы равенство было верным». Его выполняют совместно с учителем. На слайдах показана последовательность анализа квадрата числа с первой цифрой 2 и окончанием квадрата равным 4. Далее анализируются следующие два задания, в которых совпадает цифра в разряде десятков самого числа и окончания квадратов, но квадраты числа отличаются количеством цифр. Аналогичное задание раздаётся ребятам в качестве домашнего задания, а также две задачи, имеющие отношение к теме этого урока. (Приложение 2)

Слайд № 8

Учитель объявляет результативность работы в группах и комментирует книгу Д.С. Фаермарка «Задача пришла с картины», возвращаясь к задаче с картины, которую предлагает решить.

Комментарии.

В Приложении 1 предлагается игра «Домино», которую нужно заранее подготовить по указанному образцу. Выбрать для неё время на уроке достаточно сложно из-за его плотности, поэтому учитель может воспользоваться ею по своему усмотрению.

Предложенный урок проводили два учителя, присутствуя на уроке одновременно. Это очень удобно, т.к. позволяет контролировать работу в группах.

Приложение 1

Игра «Домино».

Приложение 2

1. Дополнительные задачи по теме.

2. Раздаточный материал: «Впишите недостающие цифры».

Приложение 3

Биография С.А. Рачинского

Приложения

Приложение