Открытый педагогический форум "Новая школа"

Урок дает возможность учащимся расширить свои знания о так называемых правильных многогранниках. Правильные многогранники – самые выгодные фигуры. Они встречаются в живой и не живой природе. Изучение нового материала проходит с привлечением презентации, содержащей материал о правильных многогранниках, их особенностях, свойствах, сведения из истории, примеры правильных многогранников из окружающего мира.

Статья:

Урок геометрии в 10 классе по теме «Правильные многогранники» с применением ИКТ технологии.

Тип урока: Усвоение новых знаний.

Технологии урока: ИКТ технологии.

1. Повторить и обобщить теоретический материал по теме «Многогранники».

2. Ввести понятие правильного многогранника, рассмотреть все пять видов правильных многогранников.

3. Способствовать развитию пространственного воображения и графической грамотности.

4. Показать связь геометрии и природы

Межпредметные связи: информатика, химия, биология, история.

Оснащение урока: мультимедийный проектор, экран, комьютеры, презентация «Правильные многогранники», модели правильных многогранников, заготовки для выполнения моделей правильного многогранника.

Применяемые формы и методы: работа в парах, самоконтроль, фронтальный опрос, демонстрация, творческая работа, тест.

Ход урока:

Организационный момент. Сообщение темы и целей урока.

Слайд №1

Проверка домашнего задания. Проверить решение домашних задач. Дать задание двум учащимся подготовить на доске краткое решение задач, ход решения заслушать.

1.Диагональ куба равна 3. Найдите площадь поверхности куба.

Слайд№2 Проверка Слайд №3

2.Стороны основания правильной четырёхугольной пирамиды равны 6, боковые рёбра равны 5. Найдите площадь поверхности пирамиды.

Слайд№4 Проверка Слайд №5

3. Актуализация знаний учащихся.

Сегодня мы проводим урок по теме «Правильные многогранники». Нам предстоит повторить и обобщить ранее изученный материал, закрепить его при решении задач и узнать что-то новое, ещё не сказанное по данной теме.

Начнём наш урок с традиционного повторения. Первое задание

Фронтальный опрос: ответить на вопросы по рисункам, спроектированным на экран.

Слайд № 6.

· Дать характеристику многогранника.
· Дайте все возможные названия этого многогранника.
· Можно ли в качестве высоты этой призмы принять боковое ребро?

Слайд №7

· Дайте характеристику многогранника.
· При каких условиях эта пирамида будет правильной?

• Как в этом случае можно назвать высоту боковой грани?

В следующем задании я предлагаю вам проверить себя на знание формул по темам «Призма» и «Пирамида». Пропущенными могут быть как компоненты формулы, так и её название.

2). Работа в тетрадях: заполнить пропуски (задание спроектировано на экран), выполнить самопроверку (эталон ответов выведен на экран)

Слайд №8

Заполните пропуски

S=P_осн h -------------------------------------------------------------

----------- - площадь полной поверхности пирамиды

S=1/2P_осн d - --------------------------------------------------------

S=S_б + 2S_о - ------------------------------------------------------

S=1/2(P₁ + Р₂)d - -------------------------------------

Слайд №9

Эталоны ответов

S = P_осн h – площадь боковой поверхности призмы

S = S_б + S_осн – площадь полной поверхности пирамиды

S = ½ P_осн d – площадь боковой поверхности правильной пирамиды

S = S_б + 2 S_осн – площадь полной поверхности призмы

S=1/2(P₁ + Р₂)d – площадь боковой поверхности правильной усечённой пирамиды

Изучение нового материала.

1). Вступительное слово учителя.

Человек проявляет интерес к многогранникам на протяжении всей своей сознательной деятельности – от двухлетнего ребенка, играющего деревянными кубиками, до зрелого математика, наслаждающегося чтением книг о многогранниках.

В геометрии 10 класса мы с вами изучили разные виды многогранников: тетраэдр, параллелепипед, пирамиды, призмы. Но ни одно геометрическое тело не обладает такой красотой, как правильные многогранники, с которыми мы познакомимся на сегодняшнем уроке.
«Правильных многогранников вызывающе мало, но весьма скромный по численности отряд сумел пробраться в самые глубины различных наук» (Л.Кэрролл.) Слайд №10

Существует всего пять правильных многогранников: тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр, икосаэдр.

Исторические сведения.

С древнейших времен наши представления о красоте связаны с симметрией. Наверное, этим объясняется интерес человека к многогранникам - удивительным символам симметрии, привлекавшим внимание выдающихся мыслителей.

История правильных многогранников уходит в глубокую древность. Изучением правильных многогранников занимались Пифагор и его ученики. Их поражала красота, совершенство, гармония этих фигур. Пифагорейцы считали правильные многогранники божественными фигурами и использовали в своих философских сочинениях.

Одно из древнейших упоминаний о правильных многогранниках находится в трактате Платона (427-347 до н. э.) "Тимаус"; XVI-XVII вв. немецкий астроном Кеплер построил модель Солнечной системы как ряд последовательно вписанных и описанных правильных многогранников и сфер.

3). Ввод понятия правильного многогранника.

Нами уже использовались словосочетания “правильные призмы” и “правильные пирамиды”. Оказывается, новая комбинация знакомых понятий образует совершенно новое с геометрической точки зрения понятие. Какие же выпуклые многогранники будем называть правильными? Послушайте внимательно определение.

Выпуклый многогранник называется правильным, если все его грани – равные правильные многоугольники и в каждой вершине сходится одно и то же число рёбер.(Геометрия 10-11, Л.С. Атанасян и др.)
Многогранник называется правильным, если: 1) он выпуклый; 2) все его грани – равные друг другу правильные многоугольники; 3) в каждой его вершине сходится одинаковое число ребер; 4) все его двугранные углы равны(Геометрия 11 класс, Е.В. Потоскуев, Л.И. Звавич)

Вывод. Многогранник называется правильным, если:

он выпуклый
все его грани являются равными правильными многоугольниками
в каждой его вершине сходится одинаковое число рёбер (http//ru.wikipedia)

4) Знакомство с видами правильных многогранников.

ТЕТРАЭДР – правильный многогранник, поверхность которого состоит из четырех правильных треугольников.

Слайд №11

ГЕКСАЭДР (КУБ) – правильный многогранник, поверхность которого состоит из шести правильных четырехугольников (квадратов).

Слайд №12

ОКТАЭДР – правильный многогранник, поверхность которого состоит из восьми правильных треугольников.

Слайд №13

ИКОСАЭДР – правильный многогранник, поверхность которого состоит из двадцати правильных треугольников.

Слайд №14

ДОДЕКАЭДР – правильный многогранник, поверхность которого состоит из двенадцати правильных пятиугольников.

Слайд №15

Слайд № 16 Некоторые свойства правильных многогранников.

Слайд № 17 Площади полной поверхности правильного многогранника.
Названия этих многогранников пришли из Древней Греции, и в них указывается число граней: «эдра» -грань, «тетра»-4, «гекса»-6, «окта»-8, «икоса» - 20, «додека» - 12

Слайд№18 Гранями правильного многогранника могут быть либо правильные треугольники, либо правильные четырехугольники, либо правильные пятиугольники. Не существует правильного многогранника, гранями которого являются правильные шестиугольники, семиугольники и вообще n-угольники

при n≥ 6.

Физкультминутка( упражнения для глаз: 1)вертикальные движения глаз вверх-вниз; 2) горизонтальное вправо-влево;
3) вращение глазами по часовой стрелке и против;
4) закрыть глаза и представить по очереди цвета радуги как можно отчетливее;
5) на доске до начала урока начертить какую-либо кривую (спираль, окружность, ломаную); предлагается глазами “нарисовать” эти фигуры несколько раз в одном, а затем в другом направлении.)

5). Математические свойства правильных многогранников.

Характеристика Эйлера :

Число граней плюс число вершин минус число рёбер в любом многограннике равно 2.

Слайд №29

Изучая любые многогранники, естественнее всего подсчитать, сколько у них граней, сколько рёбер и вершин. Подсчитаем и мы число указанных элементов правильных многогранников и занесём результаты в таблицу (раздаточный материал).Работа на карточках . Проверим результаты заполнения таблицы

Правильный многогранник	Число граней	Число вершин	Число ребер	Г+В-Р
Тетраэдр	4	4	6
Куб	6	8	12
Октаэдр	8	6	12
Додекаэдр	12	20	30
Икосаэдр	20	12	30

Слайд №28

Задача. Определите количество граней, вершин и рёбер многогранника, изображённого на рисунке. Проверьте выполнимость формулы Эйлера для данного многогранника.

Слайд №30 Решение : Г=12, В=10, Р=20, Г+В-Р=12+10-20=2

6). Правильные многогранники в философской картине мира Платона.

Слад №22-23

Правильные многогранники иногда называют Платоновыми телами, поскольку они занимают видное место в философской картине мира, разработанной великим мыслителем Древней Греции Платоном (ок. 428 – ок. 348 до н.э.).

Платон считал, что мир строится из четырёх «стихий» – огня, земли, воздуха и воды, а атомы этих «стихий» имеют форму четырёх правильных многогранников.

Тетраэдр олицетворял огонь, поскольку его вершина устремлена вверх, как у разгоревшегося пламени.

Икосаэдр – как самый обтекаемый – воду. Куб – самая устойчивая из фигур – землю. Октаэдр – воздух.

В наше время эту систему можно сравнить с четырьмя состояниями вещества – твёрдым, жидким, газообразным и пламенным. Пятый многогранник – додекаэдр символизировал весь мир и почитался главнейшим.

Это была одна из первых попыток ввести в науку идею систематизации.

Модель солнечной системы Иогана Кеплера «Космический кубок»

Слайд №24

7). Правильные многогранники и природа .

Например, скелет одноклеточного организма феодарии (Circjgjnia icosahtdra) по форме напоминает икосаэдр .

Слайд №19

Чем же вызвана такая природная геометризация Феодарии? По-видимому, тем, что из всех многогранников с тем же числом граней именно икосаэдр имеет наибольший объём при наименьшей площади поверхности. Это свойство помогает морскому организму преодолевать давление водной толщи.

Правильные многогранники – самые «выгодные» фигуры. И природа этим широко пользуется. Подтверждением тому служит форма некоторых кристаллов.

Слайд №20

Взять хотя бы поваренную соль, без которой мы не можем обойтись. Известно, что она растворима в воде, служит проводником электрического тока. А кристаллы поваренной соли (NaCl) имеют форму куба.

При производстве алюминия пользуются алюминиево-калиевыми кварцами (K[Al(SO₄)₂] ⋅ 12H₂O), монокристалл которых имеет форму правильного октаэдра.

Получение серной кислоты, железа, особых сортов цемента не обходится без сернистого колчедана (FeS). Кристаллы этого химического вещества имеют форму додекаэдра.

В разных химических реакциях применяется сурьменистый сернокислый натрий (Na₅(SbO₄(SO₄)) – вещество, синтезированное учёными. Кристалл сурьменистого сернокислого натрия имеет форму тетраэдра.

Последний правильный многогранник – икосаэдр передаёт форму кристаллов бора (В). В своё время бор использовался для создания полупроводников первого поколения.

8). Правильные многогранники в искусстве.

Большой интерес к формам правильных многогранников проявляли также скульпторы, архитекторы, художники. Их всех поражало совершенство, гармония многогранников. Леонардо да Винчи (1452 – 1519) увлекался теорией многогранников и часто изображал их на своих полотнах.

Сальвадор Дали на картине “Тайная вечеря” изобразил И.Христа со своими учениками на фоне огромного прозрачного додекаэдра.

Слайд №21

9).Подведение итогов урока.

Подходит к концу урок, подведём итоги.

Что нового вы узнали сегодня на уроке?

Дома: Домашнее задание будет творческим на ваш выбор

№ 271 – 275 склеить модели правильных многогранников на выбор.

Слайд № 29 Слайд № 30

Список используемой литературы:

Л.С. Атанасян и др., Геометрия 10-11. Москва «Просвещение», 2011.
Е.В. Потоскуев, Л.И. Звавич, Геометрия 11. Москва «Дрофа», 2009.
Л.И. Горохова, Г.И. Григорьева и др, Уроки математики 5-10 классы с применением информационных технологий. Москва Издательство «Глобус», 2009.
И.В. Ященко, 3300 задач. Математика. Профильный уровень. Москва «Экзамен»,2015.
В.А. Яровенко, Поурочные разработки по геометрии 10 класс. Москва «Вако», 2010.

Приложения

Статья

Статья