Автор:
Пащенина Людмила Владимировна

Аннотация:

Данный урок рекомендуется проводить после изучения тем о построении графика квадратичной функции. С учениками рассматриваются способы построения параболы как геометрического места точек. У учащихся расширятся представление о получении эскиза графика данной функции. Представлены способы построения  через множество точек касания, из которых вырисовывается парабола, и множества точек (построенных с помощью инструментов), удовлетворяющих определенному правилу.  

Статья:

Урок « Парабола как геометрическое место точек».

Цель урока: Расширить представление о способах построения графика квадратичной функции – параболы. Научить учащихся изображать параболу ранее не изученными способами.

Задачи:

1. Дать представление, что парабола – это кривая второго порядка, которая является геометрическим местом точек равноудаленным от прямой d и точки F.
2. Дать понятие касательной к параболе.
3. Научить учащихся строить параболу при заданном фокусе и директрисе, а также с помощью касательных параболы.
4. Подготовить учащихся к восприятию понятий аналитической геометрии в высшей школе.

Оборудование: лист бумаги А4 – 2 шт., фломастер, линейка, треугольник, кнопки, нить длиной равной большему катету треугольника, эскиз графика функции у = ах².

План урока:

1. Вступление.
2. Лабораторная работа «Построение параболы при заданном фокусе и директрисе d».
3. Лабораторная работа «Построение параболы с помощью касательных».
4. Итог урока.
5. Домашнее задание.

Парабола относится к семейству кривых второго порядка. Кривые с древних времен привлекали к себе внимание ученых и использовались для описания различных природных явлений от траектории брошенного камня до орбит космических тел.

Появлением параболы человечество обязано древнегреческим геометрам.  Парабола была получена в результате конических сечений. Наиболее интересные результаты о конических сечениях получил математик и астроном Аполлоний Пергский (III век до н.э.), живший в малоазиатском городе Пергаме.

В жизни встречаются предметы и явления, характеризующиеся квадратичной функцией, графиком которой является парабола. Это  телескоп с рефрактором, параболическая антенна, форма жидкости при вращении ее в сосуде, параболические  формы крыш и куполов – устойчивых к землетрясениям, ветрам и времени. 

На предыдущих уроках мы уже познакомились с параболой, как графиком квадратичной функции. Научились строить параболу через расчет вершины и некоторых точек, принадлежащих графику функции у=ах² + bх + с. Сегодня, мы рассмотрим два других способа построения параболы, которые не требуют математических вычислений, то есть рассмотрим способы построение параболы при помощи линейки, треугольника, нити,  кнопок, а также с помощью построения касательных к параболе.

Итак, построим параболу при помощи линейки, треугольника, нити, кнопок.

Лабораторная работа№1. «Построение параболы при заданном  фокусе и директрисе d».

Цель работы: Построить параболу, при заданном фокусе и директрисе d.

Оборудование: лист бумаги А4, линейка, треугольник, нить длиной равной большему катету треугольника и кнопки.

Ход работы:

Определение: Параболой  называется геометрическое место точек, равноудаленных от прямой d и точки F. Где прямая d называется директрисой, а точка F – фокус параболы.

1.      Зададим прямую d и точку F, не принадлежащую этой прямой.

2.      Прикрепим один конец нити к фокусу, а другой – к вершине меньшего угла треугольника.

3.      Приложим линейку к директрисе и поставим на нее  меньший катет треугольника.

4.      Карандашом натянем нить так, чтобы его острие касалось бумаги и прижималось к большему катету.

5.      Будем перемещать треугольник и прижимать карандаш к катету так, чтобы нить оставалась натянутой. Карандаш будет вычерчивать параболу. < Рисунок 1а,1б >

6.      Сделаем вывод.

 

Вывод: Парабола является геометрическим местом точек равноудаленных от F фокуса параболы и прямой d.

 

                             

 

Переходим к построению параболы, путем задания касательных.

Определение: Прямая,  имеющая с параболой только одну общую точку, и не перпендикулярна ее директрисе называется касательной.

(Подготовлен раздаточный материал. Эскиз графика функции у = ах².)

- К графику функции у = ах² необходимо построить касательные.

- Можно ли при помощи касательных задать параболу?

Проведем лабораторную работу.

Лабораторная работа №2. «Построение параболы с помощью касательных».

 

Цель работы: Построить параболу путем задания ее касательных.

Оборудование: Лист бумаги А-4, фломастер, линейка.

Ход работы:

1.      Возьмем лист бумаги прямоугольной формы и отложим около большей его стороны точку F.

2.      Сложим лист так, чтобы точка F совмещалась с любой точкой на этой большей стороне.

3.      Зафиксируем сгиб.

4.      Разогнем бумагу и по сгибу прочертим прямую линию.

5.      Согнем бумагу, и снова совместим точку F с другой точкой на большей стороне.  Зафиксируем сгиб.

6.      Прочертим линию в месте сгиба.

7.      Эту процедуру повторим несколько раз. В результате должна получиться похожая картинка <Рисунок 2>.

8.      Сделаем вывод.

Вывод: В результате сгибов листа мы получили множество прямых, которые являются касательными к параболе. Граница участков этих сгибов будут иметь форму параболы.

                                 

 

Обобщим способы построения параболы с помощью таблицы.

	График квадратичной функции  у=ах2 +b х + с.	Парабола как геометрическое место точек.
Построение параболы	Построение параболы по точкам через расчет координат точек, принадлежащих графику функции у=ах2 +b х + с.	Построение параболы с помощью линейки и треугольника, как кривой.
Понятие вершины параболы	Вершина параболы это точка, в которой функция меняет свое поведение, т.е. возрастание меняется на убывание  и наоборот. Вершина параболы рассчитывается по формуле:           х0 = -b/2a; у0 = (4ас – b2)/4а.	Вершина параболы это точка, принадлежащая самой параболе и её оси.
Понятие оси параболы	Ось параболы – это прямая параллельная оси ОУ и проходящая через вершину параболы.	Ось параболы – это прямая проходящая через фокус и перпендикулярная директрисе.

Итог урока: Итак, параболу можно задать не только как множество точек, удовлетворяющих графику квадратичной функции, но и как результат  геометрического места точек равноудаленных от F-фокуса параболы и прямой d, а также с помощью множества касательных к параболе.

Домашнее задание:

Вопрос: Что будет происходить с параболой, если фокус:

А) приближается к директрисе;              б) удаляется от директрисы.

Ответ на данное задание может быть получен с помощью выполнения лабораторной

 работы №1, 2.

 

 

Приложения