Автор:
Козичева Любовь Михайловна

Аннотация:

 

Классификация уравнений по их логическим структурам.

 

    Логические структуры уравнений позволяют использовать конкретные методы для решения уравнений различных видов. Анализируя каждое уравнение, приходим к выводу, что совокупность способов воплощения логических идей способствует упрощению решения того или иного уравнения.  Таким образом  происходит отработка различных способов нахождения корней уравнений. 

    Классификация уравнений по их логическим структурам будет полезна выпускникам при подготовке к ЕГЭ

                                                                                                                                                             Козичева Любовь Михайловна

Статья:

Классификация уравнений по их логическим структурам.

   Под логической структурой уравнений понимается совокупность свойств компонентов уравнений, указывающих на идею их решения.

ИДЕЯ		СПОСОБ		МЕТОД

Метод – это совокупность однотипных способов; Способ – конкретное воплощение идей: Идея -  логика решения.

   Например:  1) Решить уравнение: у³ + у – 2 = 0.

 

Решение:
  А) 1-ый способ: Левая часть уравнения – возрастающая функция, а правая – постоянная. Следовательно. Уравнение имеет только один корень, который можно найти подбором: у = 1.

  Б) 2-ой способ:  Заменим исходное уравнение тождественно равным ему  у³ – 1 + у – 1 = 0. Тогда после группировки и применения формулы  разности кубов получим уравнение:

   (у – 1)( у² + у + 2) = 0.  (*)

Уравнение (*) можно получить, если исходное уравнение представить в виде: у³– у+2у –2= 0;
у (у²–1) + 2(у –1) = 0;  у(у–1)(у +1) + 2(у –1) = 0; (у –1) (у(у +1) + 2) = 0; (у – 1)( у² + у + 2)= 0. 

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю, а другой при этом имеет смысл. Первый множитель равен нулю при у = 1, а второй – при любом значении переменной всегда больше нуля.
                        Ответ: 1

 

                       2)  Решить уравнение: cos x⁸ = x¹⁶ + 1.

 

Решение:  В этом уравнении используем метод оценки:

                                   |cos x⁸| 1;  x¹⁶ + 1  1.

  Значит, левая и правая части этого уравнения могут принимать лишь единственное значение 1, т.е.  cos x⁸ = 1  (1)  и  x¹⁶ + 1= 1 (2). Из уравнения (2)  находим х = 0, при котором  уравнение (1) обращается в верное равенство. А это значит, что  х = 0 – корень уравнения.

                       Ответ: 0 

 

              I тип уравнений: Простейшие, т.е. все уравнения, которые решаются по определению и по готовым формулам, а также уравнения вида P(x) / Q(x) = 0, где P(x)  - это квадратный трёхчлен,  или простейшая тригонометрическая функция, или линейная и т.д., а Q(x) – любая функция. 

 

 

              II тип уравнений:    Уравнения, решаемые с помощью нахождения ОДЗ

Замечание: Этот тип уравнений отсутствует для рациональных уравнений. Это единственное исключение из правил.
   Признаки данных уравнений: В данных уравнения встречаются иррациональности

(необязательно во внешней оболочке) или легко видеть отсутствие ОДЗ.

 

  Примеры уравнений II типа:   

Подкоренное выражение должно быть неотрицательным. А это значит, что

 x² – 16   и   1 – x²  одновременно неотрицательны. Но это невозможно, т.к. в первом случае

 |x|  4, а во втором:  |x|  1. Таким образом, мы видим, что ОДЗ отсутствует. Поэтому, уравнение не имеет решений.

                 Ответ: корней нет.

 

        

 

               Ответ: корней нет.

 

 

   Подлогарифмическое выражение должно быть больше нуля, значит 2sinx – 5 > 0, что невозможно, так как |sin x| ≤ 1. Поэтому, левая часть данного уравнения не имеет смысла.
          Ответ: корней нет.

      

Подкоренные выражения корня чётной степени должны быть неотрицательными, поэтому

 

Отсюда видно, что 0 и 2 могут быть решениями уравнения.
        Проверка: Если х = 0, то левая часть уравнения равна 0, а правая равна 2.

                           Значит 0 – посторонний корень ;
                          Если х = 2, то уравнение обращается в верное равенство.
          Ответ: х = 2    

 

            

 

 Решение аналогично уравнению 3)

          Ответ: корней нет

 

 

III тип уравнений:     Уравнения, решаемые группировкой и разложением на множители.      

 

Признаки данных уравнений: В уравнениях встречаются по - парные произведения, имеющие один и тот же множитель.

     

Примеры уравнений III типа:   

             

 

Решение: 1)  x³ – 8x² – x + 8 = 0;

                     x²(x – 8) – ( x– 8) = 0;

                     (x – 8) (x²– 1) = 0;

  Отсюда получаем:  x = 8,  x =  –1;  x = 1.

                 Ответ:  –1; 1; 8.

  

                 2)  2 tgx + tg 2x + 2 tgx ∙ tg 3x + tg 2x ∙ tg 3x = 0;

                      2 tg x ( 1 + tg3x) +  tg2x( 1 + tg3x) = 0;

                      ( 1 + tg3x) (2 tg x +  tg2x) = 0:

                       a)  tg3x = –1;                                     б)  2 tg x +  tg2x= 0                                        

                 3)   log₅x ∙ log₅( x – 3) – log₅x  + 1 –  log₅( x – 3) = 0;

                       log₅x ∙ (log₅( x – 3) – 1) + (1 –  log₅( x – 3)) = 0;

                      (log₅x + 1) ∙ (log₅( x – 3) – 1) = 0;

                        x = 0,2      или       x= 8
                  Выполнив проверку, приходим к выводу, что 0,2  - посторонний корень.
                 Ответ:     x= 8.

 

4)     Раскладывая на множители уравнение под номером 4, получаем два уравнения:

а)   x + 1 = 0;                               б)   x²+ x – 2 = 4;

      x= – 1.                                          x= – 3;  x= 2.
После выполнения проверки, делаем вывод, что при x= – 1 выражение под корнем принимает отрицательное значение, значит этот корень посторонний.

Ответ:     x= – 3;  x= 2.

 

  

 IV тип уравнений:   Уравнения, решаемые  непосредственной заменой переменных и всевозможными подстановками.

Признаки данных уравнений: В уравнениях присутствуют одинаковые аналитические выражения.

 

Примеры уравнений IV типа:   

 

 

Решение: 1)   (x² – 2x)² + 6 (x² – 2x ) + 5 = 0.

         Используя подстановку x² – x = у, получаем квадратное уравнение у ² + 6 у + 5 = 0, корнями которого являются числа у =  –1, у = – 5.

        Возвращаясь к переменной х, получим два уравнения:
  а)  x² – 2x = –1;                                         б) x² – 2x = – 5;
       Уравнение под буквой а) имеет единственный корень x = 1, а уравнение под буквой б) не имеет корней.

                 Ответ: x = 1

               

               2)  x^lgx – 1 = 1 – x^{- lgx}

           Обозначим x^lgx за  у, получаем квадратное уравнение у ² – 2 у + 1 = 0, имеющее единственный корень у = 1.
            Возвращаясь к переменной х, получим  уравнение:

                x^lgx = 1, откуда lgx = 0;    x = 1.

               Ответ: x = 1.

 

3)    

 

   Обозначив log₃x за  t,  получим квадратное уравнение t ² – 3t + 2 = 0, имеющее корни

t = 1 и  t = 2.    Таким образом,  log₃x =  1 и log₃x  = 2. Значит, x= 3  и   x= 9  .

              Ответ: x= 3,x= 9  .

 

     В примере № 4  sin 2x = 2sin x + 2cos x– 2 используется подстановка у = sin x + cos x, тогда  2 sin x ∙ cos x= у²– 1.  Получаем уравнение  у ² – 2 у + 1 = 0, имеющее единственный корень  у = 1.  Возвращаясь к переменной х, получим однородное тригонометрическое уравнение первой степени    sin x + cos x = 1, для которого корнями будут числа х = 2πn,

х =  π/2 + 2πn, где n – целое число.

             Ответ: x = 2πn, х =  π/2 + 2πn, где n – целое число.

 

 В примере № 5  tg²x + сtg² x + 3 (tgx + сtg x) + 4= 0  используется подстановка у = tgx + ctgx , тогда  tg²x + ctg²x= у²– 2.  Уравнение примет вид у ² + 3 у + 2 = 0.  Корнями этого уравнения являются числа  у = – 1 и у = – 2. Учитывая условие | у | ≥ 2, имеем уравнение tgx + ctgx= – 2.

Т.о. корнями исходного уравнения будут числа х =  –π/4 + πn, где n – целое число.

           Ответ: х =  –π/4 + πn, где n – целое число.

 

 

 

       V тип уравнений:   Однородные уравнения.

Признаки уравнений: Однородные уравнения представимы в виде
                                       na² + mab + kb² = 0 (*) , где a, b – переменные.

 

Примеры уравнений V типа:

            

             

 

Решение: 1)  ( 2x – 1) ² – 5x² ( 2x –1) + 4 x⁴ = 0 ;

       Разделим каждый член уравнения на x⁴. Получим уравнение:

                     

                         Ответ: х = 1.

 

2)     sin³x + 2sin²x ∙ cos x –sin x ∙ cos²x – 2 cos³x = 0;

           Т.к. обе тригонометрические функции не могу одновременно быть равными нулю, то разделим обе части уравнения на  cos³x и получим уравнение tg³x + 2 tg²x– tgx – 2 = 0;
После группировки и вынесения за скобки уравнение примет вид (tg²x– 1) (tgx+ 2) = 0;
Корнями этого уравнения будут числа x =  π/4 + πn/2, x = – arctg2 + πk, где n, k – целые числа.

                     Ответ:  x =  π/4 + πn/2, x = – arctg2 + πk, где n, k – целые числа.

 

                            

Уравнения V типа можно решать, заменив «алгебраический костяк» двумя переменными. После чего получим квадратное уравнение относительно одной из переменных.

                  

Левая часть этих уравнений – функция возрастающая, а правая – убывающая. А это значит, что корень будет только один. Его мы можем найти подбором: х = 0 .

                  Ответ:  х = 0 .

 

  Аналогично решаем пример № 5.

 

          Левая часть уравнения – возрастающая функция, а правая – убывающая. В каждом случае корень единственный. Его можно найти подбором.

                        x = 2;                                                                  x = 4.

             

Ответ: х = 2; х = 4

.

          VI тип уравнений:   Уравнения, решаемые с использованием строгой монотонности.

  Признаки уравнений: Левой частью данных уравнений является строго монотонная функция, а правой – либо число, либо строго монотонная функция другого характера монотонности. Или уравнение имеет вид f (g(x)) = f (h(x)), где функция f – строго монотонная. На области определения это уравнение равносильно уравнению g(x) = h(x) .

 

       Примеры уравнений VI типа:

            

В уравнении (1)   х = 2 – единственный корень.

 Уравнения (2), (4) имеют единственный корень, который находится подбором.
              Ответ: х = 1.

 

  Уравнение (3)  приводим к  виду f (g(x)) = f (h(x)), где функция f – строго монотонная. На области определения это уравнение равносильно уравнению g(x) = h(x). 

              Ответ: х = 2.

 

 

 

                  

                       Уравнение имеет вид f(u₁) = f(u₂), где  f(u) = 3^u+ 2^u + log₅(u+2).

                      f(u) – строго возрастающая при u не меньше 2. Значит   u₁=u₂  

                       x ² + 3x = - 3x – 8 ;         x ² + 6x + 8 = 0 ;            x = -2, x = 4

                     Проверкой устанавливаем, что x = -2 – посторонний корень

Ответ: х = 4.

 

 

         VII тип уравнений:   Уравнения, решаемые методом оценки.

  Признаки уравнений: Во внешней оболочке данных уравнений встречаются выражения разных видов. Такие уравнения могут содержать несколько переменных. В них присутствуют ограниченные функции.

     

         При решении данных уравнений используем теорему :

        

    Примеры уравнений VII типа:

      

 

Решение:

 

Из второго уравнения находим  х = 0. При этом первое уравнение обращается в верное равенство.
            Ответ: х = 0.  

          2) sin²x + cos⁴x + cos (x -  π/4) = 4 

   В данном уравнении левая часть не больше 3, т.к. синус и косинус по модулю не превосходят единицу. А правая часть – есть число 4. Значит уравнение не имеет корней.

 

            

      

          Ответ: х = 0, у = 0.  

 

             4)   log₂ (4x – x²) = x² – 4x + 6;

      Подлогарифмическое выражение – число положительное при 0 <  х <  4  и достигает своего максимума 4 при х = 2. Левая часть уравнения принимает минимальное значение 4 при  х = 2. Поэтому 2 – корень данного уравнения.

            Ответ: х = 2.

 

           
       Это уравнение не имеет корней, т.к.  в левой части стоит сумма неотрицательных чисел, а в правой – число отрицательное.

             Ответ: корней нет.

 

            

        Решая второе уравнение, получаем х = 0. При этом первое уравнение обращается в верное равенство.

            Ответ: х = 0.

 

         VIII тип уравнений:   Уравнения, решаемые методом введения параметра.

 Признаки уравнений: Если в уравнении вместо некоторых иррациональнстей ввести параметр, то оно станет квадратным относительно этого параметра.

     

           Примеры уравнений VIII типа:

                  

 

Решение:

                  

            2)     9 cos 2x + 26 = 30 cosx cosy + 15siny 
 Это уравнение превращается в квадратное, если cos x = a. Выполнив замену переменной, тригонометрические преобразования, получим уравнение 18а² -30acosy  - 15 siny + 17 = 0;
 D₁ = 225 cos²y + 270 siny– 306 = - ( 9 – 15 siny) ²; D₁ < 0. Ответ: корней нет.

           3)    3∙4^x – (10 – 3x) ∙ 2^x + 3 = x ;

Обозначим  2^x = y, y > 0;

Получим уравнение 3y² – (10 – 3x) y+3 –x = 0;

                                    D = (10 – 3x) ² – 4 ∙ 3 (3 – x) = (3x - 8) ²; D> 0

                                y₁= 3 – x ; (x < 3)                                       y₂= 3^-1;

                            1) 2 ^x = 3 – x;                                              2)  2 ^x = 3^-1;

                                    x = 1;                                                     x= - log₂3;

               Ответ: x = 1;   x= - log₂3.

                                                                                                                 

Уравнение № 4 и №5 решаются аналогично:
   В уравнении №4 обозначим log₃ (x + 2) = a. Получим a² + (2x – 11)a + x² - 11x + 18 = 0:
Ответ: x = 1, x = 7.

   

   В уравнении № 5 кубический корень обозначим через параметр.

Получим уравнение a² - (x + 7)a + 2,5 x² + 29x + 84,5 = 0: Дискриминант этого уравнения является отрицательным числом. Значит, уравнение не имеет корней.

 

IX тип уравнений:   Уравнения, решаемые векторным методом.

Признаки уравнений: Уравнения, имеют вид:  Векторный метод служит для замены исходного уравнения уравнение, которое является его следствием, но более простым.

    Примеры уравнений IX типа:

             

                  

 

Решение:

             

 

 

              

 

Приложения

Статья

1. Статья

Изображение

1.