Открытый педагогический форум "Новая школа"

Важной задачей педагогического процесса является развитие у учащихся творческого мышления, так как оно позволяет учащимся не только изучить и запомнить материал, но и находить нестандартные методы решения и конструировать новые подходы. Самостоятельная работа эвристического характера является наиболее эффективным средством достижения данной цели. Под самостоятельной работой эвристического характера мы понимаем такой вид учебной деятельности учащихся, при котором они под руководством учителя выполняют индивидуальные или групповые учебные задания и, опираясь на имеющиеся знания, теоретический и практический опыт, на интуицию и воображение, в результате активных действий создают нечто новое для себя. Самостоятельная работа эвристического характера позволяет учащимся освобождаться в процессе учебной работы от готовых образцов, шаблонов, сложившихся установок, придает этой учебной деятельности гибкий поисковый и проблемный характер. При этом учитель ставит задачу для всего класса, а затем, на начальном этапе, дает основные направления поиска решения. Эта работа служит формированию у учащихся интереса к предмету, воспитанию положительного отношения к учению, развитию рефлексивного мышления.

Приведем примеры таких задач по теме «Системы алгебраических уравнений». Заметим, что задачи следует предложить после того как ученики познакомились со следующими геометрическими фактами:

где - точки в декартовой системе координат; - расстояние между точками А и В.
Неравенство треугольника:, причем , т.е. , где - векторы в декартовой системе координат.
Неравенство Коши-Буняковского: причем

Тем самым дается основное направление поиска решения.

Задача 1. Дана система уравнений

Найти наибольшее и наименьшее значения выражения

Решение: Рассмотрим точки M(a;b) иN(c;d) Точка : точка : т.е. точки принадлежат окружностям с центрами в начале координат и радиусами 3 и 4. Исходя из этого, следует, что и

Задача 2. Решить систему уравнений

Решение: Пусть

что возможно, если ; Но

Задача 3. Найти все значения параметра а, при которых система

имеет единственное решение.

Решение: Пусть M(x;y), A(a;0), B(a;3). В силу второго уравнения т.е. Следовательно, необходимо найти такие значения параметра а, при котором первое уравнение имеет ровно одно решение для . Найдем корни уравнения:

Рассмотрим два случая: 1)

2) Ответ:

Задача 4 (диагностическая работа № 1 по математике, 18 мая 2011года, 10 класс, вариант № 1(без логарифмов), С5). Найдите все значения параметра а, при каждом из которых система

имеет более одного решения.

Решение: Исследуем первое уравнение системы . Данное уравнение означает , что сумма расстояний от точки (x;y)до точек (0;0) и (а;-3а) равна Но поскольку расстояние между точками(0;0) и (а;-3а ) тоже равно , это означает, что точка (x;y) должна лежать на отрезке, соединяющем точки (0;0) и (а;-3а). Или, другими словами, должно выполняться уравнение то есть для . Таким образом, исходная система равносильна системе двух линейных уравнений:

Известно, что подобная система имеет более одного решения, если прямые, описываемые уравнениями системы, совпадают. А это равносильно системе

Ответ: а=-3.

Cледующий пример был предложен на Всесоюзной математической олимпиаде 1984 года [1].

Задача 5. Положительные числа x, y, zудовлетворяют системе уравнений

Вычислите величину

Решение. Введем новую переменную и получим такую систему:

В ней нам знакома комбинация 9, 16, 25 – египетский треугольник: Во-втором уравнении сумма квадратов дает третий квадрат. Если это геометрически интерпретировать, то имеет место теорема Пифагора. Переведем на геометрический язык другие уравнения: рассмотрим их как запись теоремы косинусов. Имеем и

Следовательно косинусы равны и , что соответствует углам 150° и 120°. Значит, есть три треугольника с суммой углов в общей точке 360°, образующие вместе египетский треугольник (см. рис.).

Переведем теперь искомую величину на геометрический язык:

Ответ:

Использование геометрических методов решения алгебраических задач [2] развивает способность к порождению оригинальных идей и использованию нестандартных способов интеллектуальной деятельности, усиливает системность знаний учащихся, способствует более глубокому и осознанному пониманию изученного материала.

Список литературы

Уфнаровский В.А. Математический аквариум. – Новое издание. – М.: Издательство МЦНМО, 2010. – 232 с., ил.
Шестаков С.А. Язык формул и язык расстояний. Геометрические методы решения алгебраических задач./Математика. – 2004. - №47. – С.29-32.

Приложения

Статья

Статья